Menguji Hubungan Antara Dua Variabel Kategorikal
Setelah sesi ini, mahasiswa akan mampu:
| Mengetahui | Memahami | Melakukan |
|---|---|---|
| Asumsi tes Chi-Square (independensi, ukuran sampel cukup) | Chi-Square menguji apakah ada hubungan antara dua variabel kategorikal | Melakukan tes Chi-Square dengan chisq.test() |
| Interpretasi statistik Chi-Square dan p-value | p-value < 0.05 berarti ada hubungan signifikan antara variabel | Membuat tabel kontingensi dengan table() |
| Cara melaporkan hasil Chi-Square dalam format ilmiah | Memvisualisasikan hasil dengan ggplot2 |
Latihan Retrieval: Sebelum mempelajari Chi-square, coba ingat kembali: - Apa perbedaan antara variabel kategorikal dan variabel numerik? - Berikan contoh variabel kategorikal dalam penelitian biologi! - Bagaimana cara menyajikan data kategorikal dalam tabel?
Tes Chi-Square of Independence membantu kita menjawab:
Ini membandingkan frekuensi yang diamati (yang sebenarnya kita lihat) dengan frekuensi yang diharapkan (yang akan kita harapkan jika variabel-variabel tersebut tidak berhubungan).
Anda sedang meneliti apakah jenis tanah (lempung, berpasir, liat) mempengaruhi jenis tanaman yang tumbuh (bunga, sayur, pohon). Variabel apa yang kategorikal?
- Hanya jenis tanah
- Hanya jenis tanaman
- Kedua variabel (jenis tanah DAN jenis tanaman)
- Tidak ada variabel kategorikal
Jawaban: C. Kedua variabel adalah kategorikal — Chi-square test digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel kategorikal.
library(palmerpenguins)
Attaching package: 'palmerpenguins'The following objects are masked from 'package:datasets':
penguins, penguins_rawlibrary(ggplot2)
library(dplyr)
Attaching package: 'dplyr'The following objects are masked from 'package:stats':
filter, lagThe following objects are masked from 'package:base':
intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(ggrepel)
library(ggthemes)Mari kita lihat dataset penguin kita lagi. Bagaimana penguin terdistribusi di ketiga pulau?
df <- na.omit(penguins)
# Buat tabel kontingensi yang diamati
penguin_table <- table(df$species, df$island)
as.data.frame.matrix(penguin_table) Biscoe Dream Torgersen
Adelie 44 55 47
Chinstrap 0 68 0
Gentoo 119 0 0Tampaknya ada beberapa preferensi penguin untuk tinggal di pulau tertentu? Apakah Anda tidak setuju?
Mari kita uji pertanyaan ini: > Apakah distribusi spesies terkait dengan pulau-pulau?
Jika tidak ada asosiasi, penguin akan terdistribusi secara proporsional di setiap pulau.
Kita dapat menggunakan formula ini untuk menghitung frekuensi yang diharapkan di setiap pulau.
\(E_{ij} = \frac{(\text{total baris}_i) \times (\text{total kolom}_j)}{\text{total keseluruhan}}\)
Jadi Tabel yang Diharapkan adalah:
# Dapatkan total
row_totals <- rowSums(penguin_table)
col_totals <- colSums(penguin_table)
grand_total <- sum(penguin_table)
# Hitung manual matriks frekuensi yang diharapkan
expected_matrix <- outer(row_totals, col_totals, FUN = function(r, c) (r * c) / grand_total)
# Bulatkan ke bilangan bulat terdekat
expected_matrix <- round(expected_matrix)
# Berikan nama baris dan kolom
rownames(expected_matrix) <- rownames(penguin_table)
colnames(expected_matrix) <- colnames(penguin_table)
# Lihat frekuensi yang diharapkan
expected_matrix Biscoe Dream Torgersen
Adelie 71 54 21
Chinstrap 33 25 10
Gentoo 58 44 17Mari bandingkan nilai yang diamati dan yang diharapkan side by side:
# Ekstrak yang diamati dan yang diharapkan
observed <- as.numeric(penguin_table)
expected <- as.numeric(expected_matrix)
# Gabungkan menjadi data frame dengan label
species <- rep(rownames(penguin_table), times = ncol(penguin_table))
island <- rep(colnames(penguin_table), each = nrow(penguin_table))
observation_table <- data.frame(
Species = species,
Island = island,
Observed = observed,
Expected = round(expected, 2)
)
observation_table Species Island Observed Expected
1 Adelie Biscoe 44 71
2 Chinstrap Biscoe 0 33
3 Gentoo Biscoe 119 58
4 Adelie Dream 55 54
5 Chinstrap Dream 68 25
6 Gentoo Dream 0 44
7 Adelie Torgersen 47 21
8 Chinstrap Torgersen 0 10
9 Gentoo Torgersen 0 17Statistik tes Chi-Square memberi kita seberapa berbeda data yang diamati dari yang kita harapkan berdasarkan asumsi bahwa dua variabel kategorikal independen.
Kita menggunakan formula berikut:
\[\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}\]
Di mana:
Kita melewati setiap sel tabel kontingensi dan menghitung:
\[\frac{(O - E)^2}{E}\]
Nilai ini akan: - Dekat dengan 0 jika yang diamati dan yang diharapkan mirip - Lebih besar ketika ada perbedaan besar antara keduanya
Kemudian kita jumlahkan semua nilai ini dari setiap sel untuk mendapatkan statistik Chi-Square total.
Jika nilai \(( \chi^2 )\) yang dihasilkan cukup besar, ini berarti perbedaan antara yang diamati dan yang diharapkan terlalu besar untuk disebabkan oleh kebetulan acak.
Ini menunjukkan bahwa dua variabel (seperti spesies dan pulau) kemungkinan besar terkait.
Untuk membantu Anda lebih memahami dari mana perbedaan berasal, Anda dapat membuat bar plot yang membandingkan frekuensi yang diamati vs yang diharapkan:
ggplot(observation_table, aes(x = Island, fill = Species)) +
geom_bar(aes(y = Observed), stat = "identity", position = "dodge", alpha = 0.7) +
geom_point(aes(y = Expected), shape = 4, size = 3,
position = position_dodge(width = 0.9)) +
labs(title = "Frekuensi Diamati vs Diharapkan",
y = "Frekuensi", caption = "X menandai nilai yang diharapkan") +
theme_minimal()
Mari kita lewati setiap sel tabel kontingensi dan hitung:
\[\frac{(O - E)^2}{E}\]
Dan pada akhirnya, kita akan membuat penjumlahan dari semua nilai komponen
# Hitung komponen chi-square: (O - E)^2 / E
component <- (observed - expected)^2 / expected
# Tambahkan ke data frame (bulatkan jika diinginkan)
observation_table$Component <- round(component, 2)
# Lihat tabel yang diperbarui
observation_table Species Island Observed Expected Component
1 Adelie Biscoe 44 71 10.27
2 Chinstrap Biscoe 0 33 33.00
3 Gentoo Biscoe 119 58 64.16
4 Adelie Dream 55 54 0.02
5 Chinstrap Dream 68 25 73.96
6 Gentoo Dream 0 44 44.00
7 Adelie Torgersen 47 21 32.19
8 Chinstrap Torgersen 0 10 10.00
9 Gentoo Torgersen 0 17 17.00# Statistik chi-square total
cat("Total χ² =", round(sum(component), 2), "\n")Total χ² = 284.59 Jadi, kita mendapat nilai χ², tapi bagaimana kita menginterpretasikannya? Sebelum kita dapat menginterpretasikan nilai tersebut, pertama-tama kita perlu menghitung derajat kebebasan.
Derajat kebebasan (df) untuk tes Chi-Square dalam tabel kontingensi dihitung sebagai:
\[df = (\text{\#baris} - 1) \times (\text{\#kolom} - 1)\]
Dalam kasus kita, ada 3 spesies (baris) dan 3 pulau (kolom):
\[df = (3 - 1)(3 - 1) = 2 \times 2 = 4\]
Kita dapat menggunakan df untuk menemukan nilai kritis dari tabel distribusi Chi-Square pada tingkat signifikansi 0.05.
# Parameter
df_val <- 4
alpha <- 0.05
# Nilai kritis (ambang batas right-tail)
critical_value <- qchisq(p = 1 - alpha, df = df_val)
# Generate x dan y untuk kurva densitas chi-square
x <- seq(0, critical_value + 10, length.out = 500)
y <- dchisq(x, df = df_val)
# Plot distribusi Chi-Square
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "#2171B5",
ylab = "Density", xlab = expression(chi^2),
main = bquote("Distribusi Chi-Square (df = " ~ .(df_val) ~ ")"))
# Tambahkan garis vertikal di nilai kritis
abline(v = critical_value, col = "#c02728", lwd = 2, lty = 2)
# Bayangkan daerah penolakan (right tail)
x_shade <- seq(critical_value, max(x), length.out = 100)
y_shade <- dchisq(x_shade, df = df_val)
polygon(c(critical_value, x_shade, max(x_shade)),
c(0, y_shade, 0),
col = "#FF666680", border = NA)
# Anotasi plot
text(critical_value + 1.5, max(y)*0.5,
paste0("Nilai kritis (0.05) = ", round(critical_value, 2)),
col = "#c02728")
Sekarang kita membandingkan statistik Chi-Square yang dihitung dengan nilai kritis dari tabel distribusi Chi-Square pada tingkat signifikansi 0.05.
Jika:
Maka:
\[284.59 > 9.49\]
Jadi kita menolak hipotesis nol.
Kesimpulan:
- Ada hubungan secara statistik signifikan antara spesies penguin dan pulau tempat mereka ditemukan.
- Distribusi tidak seragam dan kemungkinan mencerminkan preferensi ekologis atau perilaku.
R memiliki fungsi bawaan untuk tes chi-square, jadi kita dapat langsung menggunakan chisq.test() alih-alih menghitungnya secara manual:
Tangga Petunjuk: Jika Anda bingung cara menghitung Chi-square secara manual: - Petunjuk 1: Ingat formula: χ² = Σ(O - E)² / E - Petunjuk 2: Hitung frekuensi expected: E = (total baris × total kolom) / total keseluruhan - Petunjuk 3: Gunakan
chisq.test()untuk hasil langsung
# Jalankan tes chi-square
chi <- chisq.test(penguin_table)
chi
Pearson's Chi-squared test
data: penguin_table
X-squared = 284.59, df = 4, p-value < 2.2e-16Mari kita juga visualisasikan hasilnya:
# Ekstrak statistik tes dan df
chi_stat <- chi$statistic
df_val <- chi$parameter
# Buat nilai x untuk densitas chi-square
x <- seq(0, chi_stat + 20, length.out = 500)
y <- dchisq(x, df = df_val)
# Plot
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "#2171B5",
ylab = "Density", xlab = expression(chi^2),
main = paste("Distribusi Chi-Square (df =", df_val, ")"))
# Tambahkan garis vertikal di statistik tes
abline(v = chi_stat, col = "#c02728", lwd = 2, lty = 2)
# Anotasi
text(chi_stat + 2, max(y)*0.8,
labels = paste0("X² = ", round(chi_stat, 2)),
col = "#c02728")